Definicja 1: Iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym wektorów \( \overrightarrow{u}=(u_{x},u_{y},u_{z}) \) oraz \( \overrightarrow{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) \) nazywamy liczbę (skalar) \( \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v} \) określoną wzorem
\( \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}:=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z}. \)
Przykład 1: Obliczanie iloczynu skalarnego wektorów
Dla wektorów \( \overrightarrow{u}=(1,2,-1) \) oraz \( \overrightarrow{v}=(0,3,1) \) mamy:
\( \begin{array}{l}\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{u}=1\cdot 1+ 2\cdot 2 + (-1)\cdot (-1) = 6,\\ \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{v}=0\cdot 0+ 3\cdot 3 + 1\cdot 1 = 10,\\ \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}=1\cdot 0+ 2\cdot 3 + (-1)\cdot 1= 5.\end{array} \)
Twierdzenie 1: Własności iloczynu skalarnego
Iloczyn skalarny spełnia następujące warunki:
- dla \( \overrightarrow{v}\in\mathbb{R}^{3} \): \( \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{v}\geqslant0 \) oraz
\( \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{v}=0 \Leftrightarrow\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}; \)
- dla \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \in\mathbb{R}^{3} \):
\( \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}\circ\overrightarrow{v}; \)
- dla \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w_{1}%},\overrightarrow{w_{2}}\in\mathbb{R}^{3} \):
\( \overrightarrow{v}\circ\left(\overrightarrow{w_{1}%}+\overrightarrow{w_{2}}\right) =\left(\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w_{1}}\right) +\left(\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w_{2}}\right); \)
- dla \( \alpha\in\mathbb{R}, \) \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^{3} \):
\( \alpha\cdot\left(\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}\right) =\left(\alpha\cdot\overrightarrow{v}\right)\circ\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}\circ\left(\alpha\cdot\overrightarrow{w}\right); \)
- dla \( \overrightarrow{v}\in\mathbb{R}^{3} \):
\( \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{v}=\left\Vert\overrightarrow{v}\right\Vert^{2}. \)
Kąt, kąt skierowany
Rozważmy dwie półproste o wspólnym początku \( O \) zawarte w pewnej płaszczyźnie. Półproste te dzielą płaszczyznę na dwa wzajemnie dopełniające się obszary, obie półproste są ich wspólnym brzegiem (zob.
Rys. 1 ). Każdy z tych obszarów (wraz z półprostymi) nazywamy
kątem, półproste nazywamy
ramionami kąta, ich wspólny początek \( O \) nazywamy
wierzchołkiem kąta.
Rysunek 1: Kąty utworzone przez dwie półproste.
Po ustaleniu kolejności półprostych tworzących kąt otrzymamy kąt skierowany - pierwszą z tych półprostych nazwiemy ramieniem początkowym, drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego.
Rysunek 2: Kąt skierowany: a) ujemnie, b) dodatnio.
Miara kąta skierowanego może być zarówno dodatnia jaki i ujemna (pomijamy tu sytuację w której ramię początkowe pokrywa się z ramieniem końcowym tworząc kąt o mierze zero). Jest ona ujemna, gdy kierunek obrotu ramienia początkowego w kierunku ramienia końcowego jest zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara (zob. Rys. 2a), w przeciwnym przypadku przyjmuje ona wartości dodatnie (zob. Rys. 2b).
Miara kąta między wektorami
Kąt wyznaczony przez wektory \( \overrightarrow{v} \) oraz \( \overrightarrow{w} \) to taki kąt, którego ramionami są półproste o wspólnym początku, o kierunkach i zwrotach zgodnych z kierunkami i zwrotami odpowiednio wektora \( \overrightarrow{v} \) oraz wektora \( \overrightarrow{w} \). Dwa wektory wyznaczają dwa kąty o miarach łukowych równych odpowiednio \( \alpha \) oraz \( 2\pi-\alpha \) (zob. Rys. 3 ). Zazwyczaj przyjmuje się, że przez kąt jaki tworzą dwa wektory rozumie się kąt wypukły, tj. ten o mniejszej mierze lub kąt półpełny w przypadku, gdy kąty te są równe. Miarę kąta (wypukłego) utworzonego przez wektory \( \overrightarrow{v} \) i \( \overrightarrow{w} \) oznaczać będziemy symbolem \( \measuredangle ( \overrightarrow {v},\overrightarrow{w} ) \).
Rysunek 3: Kąty utworzone przez dwa wektory.
Niech \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^{3} \) będą dowolnymi wektorami. Wówczas
\( \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=\left\Vert \overrightarrow{v} \right\Vert \cdot \left\Vert \overrightarrow{w} \right\Vert \cdot \cos\measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}), \)
gdzie \( \measuredangle (\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} )\in\lbrack 0,\pi\rbrack \) to miara kąta między wektorami \( \overrightarrow{v} \) i \( \overrightarrow{w} \).
Łącząc ze sobą wzory ( 1 ) oraz ( 2 ) otrzymujemy przepis na miarę kąta między dwoma niezerowymi wektorami.
Miara kąta \( \measuredangle(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}) \in [0,\pi] \) jaki tworzą dwa niezerowe wektory \( \overrightarrow{v}=( v_{x},v_{y},v_{z}) \) oraz \( \overrightarrow{w}=( w_{x},w_{y},w_{z}) \) wyraża się wzorem
(3)
\( \measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w} )=\arccos\frac{v_{x}w_{x}+v_{y}w_{y}+v_{z}w_{z}}{\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}\cdot\sqrt{w_{x}^{2}+w_{y}^{2}+w_{z}^{2}}}. \)
Przykład 2: Wyznaczanie miary kąta między wektorami
Rozważmy dwa wektory: \( u=( 1,0,1) \), \( v=( 1,\sqrt{2},1) \). Ponieważ \( \left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert=\sqrt{2} \) oraz \( \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert =2 \), zatem, na podstawie wzoru
( 2 ),
\( \cos\measuredangle( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}}{\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert }=\frac{2}{2\sqrt{2}%}=\frac{\sqrt{2}}{2}. \)
Oznacza to, że
\( \measuredangle( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) =\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}. \)
Ortogonalność
Definicja 4: Ortogonalność
Niech \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}%\in\mathbb{R}^{3} \). Jeżeli \( \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=0, \) to piszemy \( \overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{w} \) i mówimy, że wektory \( \overrightarrow{v} \) i \( \overrightarrow{w} \) są ortogonalne.
Przykład 3: Wektory ortogonalne
Ponieważ dla wektorów \( \overrightarrow{v}=( 1,-1,2) \) oraz \( \overrightarrow{w}=( 2,0,-1) \) mamy
\( \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=1\cdot2+( -1)\cdot0+2\cdot( -1)=0, \)
zatem wektory te są ortogonalne.
Wektor zerowy jest jedynym wektorem, który jest ortogonalny do wszystkich wektorów, w tym i do siebie samego.
Niezerowe wektory ortogonalne są do siebie prostopadłe (tj. kąt między nimi jest kątem prostym).
